Y = - x² +2x +3  ;   y = 0.
y   =  4  - (x - 1)²        *** = (2 - x +1 )(2+x -1) =   -(x+1)(x-3)   ***
y =4   при   x=1  
График этой функции парабола вершина которой  в точке  x = 1  ; y   =  4 :  G(1 ;4) .
Ветви  направлены  вниз . Определим точки пересечения с осью  y  и  x
с осью   y :    x = 0 ⇒y = - 0² +2*0 +3 =3  =3   т.е.  точка  A(0 ;3)
с осью   x  :  y  = 0  ⇒ 0 = - x² +2x +3 
 x² -2x -3 = 0  ;
x₁=  -1;
x₂ = 3.
S = интеграл ((a) => (b)) (ydx) = интеграл ((a) => (b)) ( - x² +2x +3 )dx) ;
границы интегрирования  a = x₁=  -1 ;  b=x₂ = 3.
S = интеграл ((-1) => (3)) ( - x² +2x +3 )dx) =( -x³/3 +x² +3x) | (-1) =>(3) =
=( -3³/3 +3² +3*3 )  - ( - ( -1)³/3 +( -1)² +3 (-1)) = 9  -(-5/3)  =32/3 .
------------------------------------------------------------------------------------------------
* * * *    *F(b) -F(a)   формула Ньютон - Лейбница * * * * *

ответ :  32 / 3.