Целые корни этого уравнения находятся среди делителей свободного коэффициента. Этот коэффициент (-1)
Его делители 1 и (-1)
Проверяем х=1
4·1-8·1+3·1+2-1=0 - верно, значит х = 1 корень
Разложим на множители, выделяя х-1  или х²-х или х²-х²  или х⁴-х³
4х⁴-8х³+3х²+2х-1=4х⁴-4х³-4х³+4х²-х²+х+х-1
4х³(х-1)-4х²(х-1)-х(х-1)+(х-1)=0
(х-1)(4х³-4х²-х+1)=0
во второй скобке снова можно разложить на множители
(х-1)( 4х²(х-1)-(х-1))=0
(х-1)(х-1)(4х²-1)=0
(х-1)²(2х-1)(2х+1)
Произведение нескольких множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю
(х -1)² = 0    или    2х -1 = 0    или 2х+1=0
 х=1                      х= 1/2               х = -1/2
Ответ. -1/2;   1/2;    1