Функции - это такое соотношение между двумя переменными. при котором одному значению одной из переменных соответствует только одно значение другой переменной. К примеру, экспонента y=e^x (е в степени х). Число е - известная постоянная, а у и х - две переменных. При этом одному какому-либо значению х (такую переменную называем аргументом) соответствует только одно значение у (такую переменную, собственно, и именуют функцией).

Из функций с помощью простых арифметических действий можно создавать новые функции. К примеру, (e^x - 1/e^x)/2 = y. Такую функцию называют элементарной. Перед вами - пример гиперболической функции. Ее называют гиперболическим синусом. Имеется и специальное обозначение: sh x (на нашем разговорном - шинус).
Поменяем знак в скобке - получим гиперболический косинус: (e^x + 1/e^x)/2 = у.
Специальное обозначение ch x (на разговорном - чосинус).
Имеется также гиперболический тангенс и котангенс.
Основное соотношение между этими функциями выражается так:
разность квадратов гиперболических косинуса и синуса равна единице (по аналогии с равной единице сумме квадратов косинуса и синуса).
Это соотношение дает параметрическое представление такой кривой, как гипербола - отсюда и название: гиперболические функции.