Начала спортивную карьеру в 1999 году, выступала по 2009 год.
Анна Бессонова – заслуженный мастер спорта Украины, по версии Национального Олимпийского комитета, лучшая спортсменка 2007 года в Украине. В 2002 году стала лидером сборной Украины. В 2003 году Анна стала двукратной чемпионкой мира и трехкратной чемпионкой Европы. В 2004 завоевала бронзу на Олимпийских играх в Афинах. В 2005 выиграла шесть серебряных медалей на чемпионате мира в Баку. 21 сентября 2007 года стала абсолютной чемпионкой мира на чемпионате мира в Патрах. В 2008 году стала бронзовым призером Олимпиады в Пекине. В 2009 прошли последние соревнования Анны. Она выступила на чемпионате мира в Миэ, выиграла три бронзовых и одну серебряную медали. В 2010 году на Кубке Дерюгиной Анна попрощалась со спортом представив прощальный показательный номер.