Мякина  это остатки колосьев, стеблей  при молотьбе. Не проведешь это значит не обманешь.
В сказке про вершки и корешки  при дележе урожая умному достаются зерна, а глупому – мякина.  В этой сказке  дурак всё  хочет получить лучшее, но умный его перехитрил, и зерна достались ему, а дураку – мякина. 
Вот и появился такой фразеологизм.