Лучше начинать приучать ребенка к самостоятельности с самого раннего возраста. Если ему 2 года, то можно его просить убрать за собой разбросанные по комнате игрушки ( это не сложно, но у ребенка может не получаться), главное- объяснить ребенку, что умение убирать за собой вещи-это важно. 
В данной же ситуации имеет место быть то же самое правило. Дети 3 лет уже личности, уже в таком возрасте они могут понимать, что такое хорошо и что такое плохо. Именно поэтому в приучении детей к уборке за собой нет ничего плохого. 
Да, возможно, они разобьют 1-2 тарелки, но это будет для них уроком и в следующий раз они будут более осторожны.
А когда они подрастут, детям можно будет давать более сложные задания ( например: не только отнести грязную посуду, но и вымыть ее).
Ребенок должен понять, что в труде нет ничего плохого или сложного, просто к этому нужно постепенно прийти.