Ответ:

Дано:

 FO перпендикулярно ABC, FN перпендикулярно AD,

FC=5, FO=3 (высота h пирамиды),

AP=PB, AN=ND

Найти:

S(NPF)-?; S(бок)-?

Решение:

Площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной пирамиды можно найти по формуле:

Sбок=1/2⋅Pосн⋅l

где: Pосн​ — периметр основания пирамиды, l — апофема (высота боковой грани).

1. Правильная четырёхугольная пирамида имеет в основании квадрат.

2. Если сторона квадрата равна a, то периметр основания Pосн=4a

3. Апофема l — это высота боковой треугольной грани, проведённая от вершины пирамиды к середине стороны основания (на рисунке FN)

Таким образом, формула принимает вид:

Sбок=1/2⋅4a⋅l=2a⋅l

 

Если известны другие параметры пирамиды (например, высота h или длина бокового ребра b), апофему l можно найти через теорему Пифагора.

Например, если дана высота пирамиды h, то апофема вычисляется как:

l=sqrt(h^2+(a/2)^2)

Подставляя это в формулу для площади боковой поверхности, получаем:

Sбок=2a*sqrt(h^2 + a^2/4)

h=FO по условию, найдем сторону а основания-квадрата пирамиды.

По т.Пифагора найдем ОС:

ОС=sqrt(FC^2-FO^2)=sqrt(5^2-3^2)=sqrt(25-9)=sqrt16=4

Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, делятся точкой пересечения пополам и сами делят углы квадрата пополам.

AC=2OC=8

По т.Пифагора:

AC^2=AD^2+DC^2

AD=DC=а - сторона квадрата

AC^2=a^2+a^2

AC^2=2a^2

64=2a^2

a^2=32

a=sqrt32=4sqrt2

Подставляя это в формулу для площади боковой поверхности, получаем:

Sбок=2a*sqrt(h^2 + a^2/4)=2 4sqrt2*sqrt(3^2+(4sqrt2)^2/4)=8sqrt2*sqrt(9+32/4)=8sqrt2*sqrt(9+8)=8sqrt2*sqrt17=8sqrt34 ед.кв.

2)

S(NPF)=1/2 *PN*FQ

Найдем апофему FN из формулы Sбок=1/2⋅4a⋅l=2a⋅l

l=Sбок/2a=8sqrt34/2*4sqrt2=sqrt34/sqrt2=sqrt17*sqrt2/sqrt2=sqrt17