Ответ:

Даны координаты вершин треугольника: A(-2,3), B(5,1), C(2,-1).
1) Координаты векторов.
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 5-(-2) = 7; Y = 1-3 = -2
AB(7;-2)

AB = 7i -2j

AC(4;-4)

AC = 4i -4j

BC(-3;-2)

BC = -3i -2j

2) Длина сторон треугольника.
Расстояние d между точками M1(x1; y1) и M2(x2; y2) определяется по формуле:




8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой BC
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = 2/3x -7/3 или 3y -2x +7 = 0
7) Уравнение медианы треугольника
Обозначим середину стороны BC буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.


M(7/2;0)
Уравнение медианы AM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Медиана AМ проходит через точки A(-2;3) и М(7/2;0), поэтому:
Каноническое уравнение прямой:

или

или
y = -6/11x + 21/11 или 11y + 6x - 21 = 0
Найдем длину медианы.
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой:


9) Уравнение высоты через вершину A
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

Найдем уравнение высоты через вершину A

y = -3/2x или 2y +3x + 0 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой BC.
Уравнение BC: y = 2/3x -7/3, т.е. k1 = 2/3
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим:
2/3k = -1, откуда k = -3/2
Так как перпендикуляр проходит через точку A(-2,3) и имеет k = -3/2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = -2, k = -3/2, y0 = 3 получим:
y-3 = -3/2(x-(-2))
или
y = -3/2x или 2y + 3x - 0 = 0
Найдем точку пересечения с прямой BC:
Имеем систему из двух уравнений:
3y -2x +7 = 0
2y + 3x - 0 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 14/13
y = -21/13
D(14/13;-21/13)
9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(-2;3) и прямой BC (3y -2x +7 = 0)


Длину высоты можно вычислить и по другой формуле, как расстояние между точкой A(-2;3) и точкой D(14/13;-21/13).
Расстояние между двумя точками выражается через координаты формулой: