Вопрос по математике:
В основании прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 4, BC = 16, Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки A1 до плоскости APQ.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!
- 18.12.2022 11:36
- Математика
- remove_red_eye 598
- thumb_up 0
Ответы и объяснения 1
Ответ:
Рисунок см. в приложении
а)
Пусть QF– средняя линия треугольника A1B1C1
QF=A1C1/2
A1C1=2·QF
Так как по условию С1P:PB1=1:2
обозначим C1P=x, тогда PB1=2x
В1С1=3х
C1F=FB1=1,5x
PF=C1F–C1P=1,5x–x=0,5x
Продолжим A1C1 до пересечения с QP в точке Т.
Треугольники FQP и ТС1Р подобны по трем углам ( прямые QP и A1T параллельны)
QF:C1T=PF:C1P=0,5x/x=1/2
C1T=2QF
но так как A1C1=2QF , то
С1Т=A1C1
Значит C1 – середина отрезка A1T.
В треугольнике АА1T
СС1 || AA1 и проходит через середину А1Т
Значит, CМ– средняя линия треугольника АА1Т
б)
Расстояние от точки А1 до плоскости АРQ – это высота пирамиды АА1РQ.
Обозначим это расстояние Н.
V(пирамиды АА1PQ)=(1/3)S( Δ APQ)
Значит,
H=3V(пирамиды AA1PQ)/S( Δ APQ)
Так как PQ:PT=PF:PC1=1:2
V(пирамиды AA1PQ)=(1/3)V(пирамиды АА1QT)
V(пирамиды АА1QT)=(1/3) S( ΔАА1Т)·QE,
где QE || B1C1 и QE=(1/2)B1C1=8
Найдем площадь прямоугольного треугольника АА1Т. (AA1 ⊥ A1C1)
АА1=4√2
A1T=2A1C=2·4=8
S(ΔАА1Т)=(1/2)AA1·A1T=(1/2)·4√2·8=
=16 √2
V(пирамиды АА1QT)=(1/3) ·16√2·8=
=128√2/3
V(пирамиды AA1PQ)=128√3/3
Осталось найти площадь треугольника АРQ.
Из прямоугольного треугольника A1B1C1
A1B1=√42+162=√272
Из прямоугольного треугольника АА1Q:
A1Q=QB1=√272/2=√68=2√17
Из прямоугольного треугольника AA1T:
AT=√32+64=√96=4√6
AQ=sqrt(AA21+(A1Q2)=√32+68=√100=10;
AQ=10
Из прямоугольного треугольника А1B1C1
cos∠A1=A1C/A1B1=4/4√17=1/√17
Из треугольника А1ТQ по теореме косинусов
QT=√82+68–2·8·2√17·(1/√17)=
=√64+68–32=√100=10
QT=10
AQ=QT=10
В равнобедренном треугольнике АQT
высота из вершины Q является одновременно и медианой.
QM=√AQ2–AM2=√102–24=√76
S( Δ AQT)=(1/2)AT·QM=(1/2)·4√6·√76=
=4√6·√19
Так как треугольники АРQ и AQT имеют одинаковую высоту, проведенную из точки А, то их площади относятся как стороны, на которую проведена такая высота.
PQ=(1/3)TQ
и
S(Δ APQ)=(1/3)S(Δ AQT)=(4√6·√19)/3
О т в е т.
H=3V(пирамиды AA1PQ)/S( Δ APQ) =
=128√2/(4·√6·√19)=32/√57=32√57/57.
- 19.12.2022 07:52
- thumb_up 0
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.