Ответ:

z = x^3+y^2-6*x*y-39*x+18*y+20
1. Найдем частные производные.


2. Решим систему уравнений.
3*x2-6*y-39 = 0
-6*x+2*y+18 = 0
Получим:
а) Из первого уравнения выражаем x и подставляем во второе уравнение:


или

Откуда y1 = -6; y2 = 6
Данные значения y подставляем в выражение для x. Получаем: x1 = 1; x2 = 5
б) Из первого уравнения выражаем y и подставляем во второе уравнение:

x2-6*x+5 = 0
Откуда x1 = 1; x2 = 5
Данные значения x подставляем в выражение для y. Получаем: y1 = -6; y2 = 6
Количество критических точек равно 2.
M1(1;-6), M2(5;6)
3. Найдем частные производные второго порядка.



4. Вычислим значение этих частных производных второго порядка в критических точках M(x0;y0).
Вычисляем значения для точки M1(1;-6)



AC - B2 = -24 < 0, то глобального экстремума нет.
Вычисляем значения для точки M2(5;6)



AC - B2 = 24 > 0 и A > 0 , то в точке M2(5;6) имеется минимум z(5;6) = -86
Вывод: В точке M2(5;6) имеется минимум z(5;6) = -86