3) Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b равна модулю векторного произведения этих векторов.

Формула векторного произведения:

                I         j        z                       

a x b =     x1     y1      z1

               x2     y2      z2  =

         = y1    z1          x1      z1           x1    y1

                                  i -                       j+                 k =

                  y2    z2          x2      z2            x2    y2

 

         = (y1 z2 - z1 y2)i  + (z1 x2 - x1 z2)j + (x1 y2 - y1 x2)k.

S = |a x b| = √(X² + Y² + Z²).

Находим площадь параллелограмма, построенного на векторах a=(6;3;-2) и b(3;-2;6), подставив в формулу их координаты.
a x b =     I         j        z

              6        3        -2

             3       -2          6 = (3*6-(-2)*(-2))i + ((-2)*3-6*6)j + (6*(-2)-3*3)k =

                                      = 14i – 42j – 21k.

|a x b| = √(14² + (-42)² + (-21)²) = √2401 = 49.

Искомая площадь S = 49 кв. ед.

 

4) Уравнение заданной прямой выразим в виде с угловым коэффициентом.

(-2/3)x + (2/3) = y + 2,

y = (-2/3)x – (4/3).

 Угловой её коэффициент равен (-2/3).

Так как из точки М к заданной прямой можно провести 2 прямых под углом 45 градусов, то угловой коэффициент искомой прямой находим по двум формулам:

tg(α + β) = (tgα + tgβ)/(1 – tgα*tgβ),

tg(α - β) = (tgα - tgβ)/(1 + tgα*tgβ).

Подставим данные в формулу с учётом того, что tg(β = 45º) = 1.

tg(α + β) = ((-2/3)+ 1)/(1 – (-2/3)*1) = 1/5.

tg(α - β) = ((-2/3)- 1)/(1 +(-2/3)*1) = -5.

Получаем уравнения двух прямых.

у(1) = (1/5)х + b, подставим координаты точки М.

1 = (1/5)*2 + b, отсюда  b = 1 – (2/5) = 3/5.

y(1) = (1/5)x + (3/5).

у(2) = (-5)х + b, подставим координаты точки М.

1 = (-5)*2 + b, отсюда  b = 1 + 10 = 11.

y(2) = (-5)x + 11.

 

5) Дана функция y = x*((1-x)^(1/3))
Находим интервалы возрастания и убывания. Первая производная.

или

Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю
3-4·x = 0
Откуда:
x1 = 3/4

(-∞ ;3/4)

(3/4; +∞)

f'(x) > 0

f'(x) < 0

функция возрастает

функция убывает

В окрестности точки x = 3/4 производная функции меняет знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 3/4 - точка максимума.

В точке х = 1 производная функции не определена, кривизна её меняется с выпуклой на вогнутую.

 

6)Дана функция y = x²/(5-x).

Уравнения наклонных асимптот обычно ищут в виде y = kx + b. По определению асимптоты:

Находим коэффициент k:


Находим коэффициент b:


Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = -x-5
Найдем вертикальные асимптоты. Для этого определим точки разрыва:
x1 = 5
Находим переделы в точке x=5


x1 = 5 - точка разрыва II рода и является вертикальной асимптотой.

Найдем наклонную асимптоту при x → -∞:

Находим коэффициент k:


Находим коэффициент b:


Получаем уравнение наклонной асимптоты:
y = -x-5

 

8) На заданной прямой определяем 2 точки А и В, задаваясь значениями параметра t₁ = 0 и t2 = 1.

x₁ = -1    x2 = 1

y₁ = 0     y2 = 3

z₁ = 4     z2 = 5.

По координатам трёх точек составляем уравнение плоскости по формуле:

x - xA                   y - yA                   z - zA

xB - xA               yB - yA                 zB - zA

xМ - xA              yМ - yA                zМ - zA = 0.

Подставим данные и упростим выражение: А(-1;0;4), В(1;3;5), М(3;-1;0).

x + 1            y – 0             z – 4

1 – (-1)        3 – 0             5 – 4

3 – (-1)       -1 – 0             0 - 4 = 0

 

x + 1              y                z – 4

 2                  3                   1

 4                 -1                  -4 = 0

 

(x + 1)(3·(-4)-1·(-1)) – y (1·4-2·(-4)) + (z – 4)(2·(-1)-3·4) = 0

-11(x + 1)+ 12y - 14(z – 4) = 0

 -11x + 12y - 14z + 45 = 0.

 

9) Расстояние от центра гиперболы до её директрисы равно половине заданного расстояния (8/3), то есть, уравнение одной из директрис х = (8/6) или х = (4/3).

Из уравнения директрисы х = а/е находим параметр а = х*е= (4/3)*1,5 = 2.

Фокусное расстояние с = е*а = 1,5*2 = 3.

Малую ось находим из выражения b = √(c² - a²) = √(9 – 4) = √5.

Получаем каноническое уравнение гиперболы:

(x²/2²) – (y²/((√5)²) = 1.