Дано уравнение кривой :

1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.
Решение.
Приводим квадратичную форму
B = y2
к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы:точки ↓ 
B=
Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:
(0 - z)x1 + 0y1 = 0
0x1 + (1 - z)y1 = 0
Характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение:
0 - λ ;0   = 
0      ;1 - λ= 

D = (-1)2 - 4 • 1 • 0 = 1
x1=1
x2=0
Исходное уравнение определяет параболу (λ2 = 0)
Вид квадратичной формы:
y2
Выделяем полные квадраты:
для y1:
(y12-2•3y1 + 32) -1•32 = (y1-3)2-9
Преобразуем исходное уравнение:
(y1-3)2 = 16x -16
Получили уравнение параболы:
(y - y0)2 = 2p(x - x0)

Ветви параболы направлены вправо, вершина расположена в точке (x0, y0), т.е. в точке (1;3)
Параметр p = 8
Координаты фокуса:
F=
Уравнение директрисы: x = x0 - p/2
x = 1 - 4 = -3