Пусть начальная скорость Матроскина и д. Фёдора х.
Когда Матроскин начал доганять д. Фёдора расстояние между ними было 2*100=200(м) по 100 в разные стороны прошли Матроскин и д. Фёдор.
Теперь примем за t время за которое матроскин догонит д. Фёдора после того как он решил идти вместе с ним.
За это время д. Фёдор пройдёт xt метров,  а Матроскин 5хt метров, так как по условию Матроскин повысил скорость в 5 раз.
При этом Матроскин, прежде чем догнать д. Фёдора, пробежит 200 метров и xt метров, которые пройдёт д. Фёдор. Получаем уравнение
5xt=200+xt
4xt=200
xt=200:4
xt=50
xt расстояние, которое пройдёт д. Фёдор с того момента, когда Матроскин начнёт его доганять и до того момента, пока догонит.
Но эта погоня началась, когда д. Фёдор ушёл на 100 м от дома, значит его кот догонит на расстоянии 100+50=150 (м)
Ответ: 150 м.