Треугольник существует, если a < (b+c), b < (a+c), c < (a + b)
Он равносторонний, если a=b=c
Он равнобедренный, если a=b!=c, a=c!=b, b=c!=a (!= всмысле не равно)
Иначе произвольный
Разве не очевидно?

Програмка на питоне: https://pastebin.com/raw/fKQqvfDb
Там я сначала проверяю, что треугольник существует, потом проверяю, что две его любые стороны равны. Если при этом ещё и сумма всех сторон делённая на 3 равна одной из них, то они все равны => он равносторонний. Иначе он равнобедренный. Если условие про равенство двух сторон не выполняется, то он - произвольный. Как упростить - не знаю.