1.
Рассмотрим тр. AOC, DOB" DO=OC AO=OB тр.AOC=DOB. => NO=OM. следовательно О - сердина отрезка MN. ч.т.д
2. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке, значит точка М-точка пересечения медиан треугольника. Отрезок АМ лежит на медиане АК(К-середина ВС). Поскольку треугольник АВС-равнобедренный, тогда медиана АК перпендикулярна к ВС за свойством равнобедренного треугольника(в равнобедренном треугольнике, медиана которая проведена к основе является и высотой). Так как АМ лежит на АК, тогда отрезок АМ перпендикулярен к ВС как и АК, а это и требовалось доказать.