Из суммы углов треугольника несложно показать подобие треугольников BHC и AHB. В подобных треугольниках соотношения соответствующих сторон равны. Этим и воспользуемся.
Для HC получается два значения. Это потому что он может быть коротким, тогда AH будет длинным, либо наоборот - длинным, тогда AH будет коротким. Чтобы решение больше походило на рисунок, можно выбрать HC = 5 × (2 - √3), тогда AH = 5 × (2 + √3). В общем, это не принципиально.
Дальше по теореме Пифагора несложно найти BC.