Опустим перпендикуляры ОР, ОН и ОМ на продолжения сторон угла С треугольника АВС (на стороны внешних углов АВР и ВАН и сторону АВ этого треугольника) .  Прямоугольные треугольники ОРВ и ОМВ равны, так как равны их острые углы (ОВ - биссектриса угла АВР), а гипотенуза ОВ общая.
Точно так же равны прямоугольные треугольники ОНА и ОМВ, так как равны их острые углы  (ОА - биссектриса угла ВАН), а гипотенуза ОА общая.
Следовательно, катеты ОР и ОН равны, а это значит, что точка О равноудалена от сторон СР и СН угла С. Значит прямая ОС является биссектрисой угла С. То есть биссектрисы внешних углов при вершинах А и В и биссектриса угла С пересекаются в одной точке.
Что и требовалось доказать.