Ключевой момент для решения - теорема синусов, которая в "правильной" формулировке утверждает, что хорда окружности равна произведению диаметра окружности на синус вписанного в эту окружность угла, опирающегося на эту хорду. Из этой теоремы сразу следует, что угол AEB равен 45°, а так как по условию угол ABE равен 45°, треугольник BEA - прямоугольный равнобедренный (угол A- прямой); AB=AE=√2; BE=2, S_(ABE)=1. Поскольку A - прямой, он опирается на диаметр BE, а тогда и угол BDE - прямой, а ΔBDE - прямоугольный с углами 30° и 60°, катетами ED=1, BD=√3 и гипотенузой 2; S_(BED)=√3/2. Осталось разобраться с ΔBCD. Из разных способов рассуждения выберем, скажем, такой. Четырехугольник BCDE - вписанный⇒ сумма противоположных углов = 180°, а так как ∠BED=60°⇒∠BCD=120°, то есть углы равнобедренного по условию треугольника BCD равны 120°, 30°, 30°. Сейчас спокойно можно было бы обойтись без теоремы косинусов, но так приятно лишний раз вспомнить о ней! Итак, обозначив сторону BC-CD=x, получаем 
(√3)^2=x^2+x^2-2x·x·cos 120°; 3=3x^2; x=1. S_(BCD)=1/2 BC·BD·sin 30°=
√3/4. Отсюда площадь всего пятиугольника, составленная из площадей трех треугольников, равна 1+√3/2+√3/4=(4+3√3)/4

Ответ: (4+3√3)/4