Пусть BK = 8x, CK = 5x. Пусть окружность касается AB в M, стороны AC - в N. Т.к. окружность вписанная, то CK = CN = 5x, BK = BM = 8x. Т.к. треугольник равнобедренный , то AB = BC, или AM + MB = BK + KC
AM = 5x, и AN = 5x. Периметр равен 72 или 2 * 8x + 4 * 5x = 36x, т.е. x = 2.
BN является медианой (т.к. AN = NC = 10), т.е. BN ещё и высота (т.к. основание - AC). BN перпендикулярна AC, ON перпендикулярна AC, т.е. точки B, O, N лежат на одной прямой. По свойству медианы имеем: BO = 2 * ON = 2r, где r - радиус вписанной окружности. Треугольник BMO - прямоугольный (OM перпендикулярна MB) с гипотенузой BO, т.е.
BO² = BM² + MO²
4r² = 16² + r²
3r² = 256
r = 16√3 / 3.
Площадь треугольника равна S = p * r = 72 * 16√3 / 3 = 384√3