Так как треугольник АВС - правильный, то вершина пирамиды S проектируется в центр О.
О- центр описанной и для правильного треугольника и  вписанной окружностей.
Это точка пересечения высот, медиан и биссектрис правильного треугольника
СЕ=АС·sin 60°=6√3/2=3√3
Точка делит медиану СЕ в отношении 2:1 считая от вершины.
СО=2√3
ОЕ=√3

Из прямоугольного треугольника SOC по теореме Пифагора
SO²=SC²-CO²=4²-(2√3)²=16-12=4
SO=2


MN- средняя линия треугольника SAB      MN=2
MP- средняя линия треугольника ASO     MP=1
SO ⊥ (АВС)
МК|| SO
MK⊥(АВС)
Плоскость сечения проходит через перпендикуляр к другой плоскости.
Плоскость сечения перпендикулярна плоскости АВС
Аналогично NK =1     и     PK=2


РК- средняя линия треугольника АОВ
РК делит ОЕ пополам
ОЕ=CЕ/3
КЕ=СЕ/6   КЕ - составляет шестую часть СЕ
СК = СЕ-(СЕ/6)= 5СЕ/6
Точка К делит СЕ в отношении 5 :1

Продолжим РК до пересечения с АС в точке F и до пересечения с ВС в точке Q
Треугольник FCQ подобен  треугольнику АВС
FQ: АВ= СК: СЕ=5:6
FQ=5AB/6=5

В равнобедренной трапеции ЕMNQ

FP=KQ=(5-3):2=1

По теореме Пифагора из треугольника NKQ
NQ=√(1²+1²)=√2
Аналогично, MF=√2

Р(сечения)=Р( трапеции FMNQ)=FM+MN+NQ+FQ=√2+3+√2+5=8+2√2

Ответ. Р(сечения)=8+2√2