Объём правильной треугольной пирамиды находится из выражения:V = (1/3)So*H,
где So - площадь основания,
        H  - высота пирамиды.
So = а²√3 / 4.
Вершина правильной треугольной пирамиды проецируется в точку пересечения медиан основания (они же и высоты и биссектрисы).Отрезок медианы ОД = (1/3)a*cos 30 = (1/3)a*(√3/2) = a√3 / 6.
Тогда высота пирамиды Н = ОД*tg α =a√3*tg α / 6.
Объём пирамиды V = (1/3)*( а²√3 / 4)*(a√3*tg α / 6) = a³*tg α / 24.