Из свойств хорд следует что    
так и остальные ,  то есть следует что три стороны треугольника равны , остальные три в два раза больше , то есть  
Рассмотрим  четырехугольник   , положим что угол  
Получим по теореме косинусов 
   
  
откуда 
  
 по теореме синусов 
  
 
 
 Ответ 

Еще вариант:
Возьмем произвольный треугольник АВС и построим шестиугольник XKNYLM по данным задачи.
Шестиугольник вписанный, значит MN, XY и KL - пересекающиеся хорды. По свойствам пересекающихся хорд имеем: BN*BM=KB*BL или BN*2BN=KB*2KB или BN²=KB², то есть BN=KB или АВ=ВС.
Точно так же МА*2МА=ХА*2ХА или МА=АС. Следовательно, треугольник АВС РАВНОСТОРОННИЙ. Мы знаем, что центр описанной окружности треугольника лежит на пересечении серединных перпендикуляров к его сторонам. Центром описанного многоугольника также является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника. В нашем случае эти центры совпадают, так как серединный перпендикуляр к любой из сторон исходного треугольника лежит на серединном перпендикуляре к сторонам шестиугольника, параллельным этой стороне треугольника.
Итак, треугольник АВС равносторонний и его сторона a равна (12√3/√7):3 = 4√3/√7.
Радиус описанной окружности для треугольника АВС находим по формуле r=a*√3/3.
Высота этого треугольника находится по формуле: h=a*√3/2.
Заметим, что треугольники АВС и BKN равны. Тогда ОЕ=ОВ+ВЕ = r+h.
Тогда из треугольника ОЕN по Пифагору находим искомый радиус:
R = √[(r+h)²+(a/2)²].
Подставляем известные нам значения и получим:
r = (4√3/√7)*(√3/3) = 4/√7.
h = (4√3/√7)*(√3/2) = 6/√7.
OE = 10/√7,  EN = 2√3/√7.
Тогда R = √(100/7+12/7) = √(112/7)=√16=4.
То же самое получим, если будем рассматривать треугольник FОL. BO=(2/3)*h = 4/√7. BF = 2a*√3 = 12/√7. OF=BF-BO=8/√7.
Тогда искомый радиус R =  √(64/7+48/7) = √(112/7) =√16 = 4.