BD =DC, это значит, что точка D - середина стороны ВС и ВD - половина стороны ВС.  Эта половина равна половине стороны АВ, значит АВ=ВС и треугольник АВС равнобедренный. Проведем высоту ВН. В равнобедренном тр-ке высота является и медианой. То есть АН=НС=√10. Проведем прямую DK параллельно АС. Отрезок DK -средняя линия треугольника и равна  (1|2)*AC = √10. Пусть точка пересечения отрезков АD и ВН - точка О, а точка М - точка пересечения KD и ВН. Тогда в прямоугольных треугольниках АОН и МОD острые углы равны 45°, то есть треугольники равнобедренные и НО=АН=√10, а ОМ=MD=√10/2. Тогда МН = МО+ОН= 3√10/2. Но KD - средняя линия и значит точка М делит высоту АН пополам. ВН=2*МН=3√10.
Тогда по Пифагору АВ=√(АН²+ВН²) = √(10+90) = 10см
Ответ: АВ = 10см..