Если АО=ОД, и вместе с тем МО перпендикулярна АД, то мы имеем, что ОМ является одновременно медианой и высотой. А это возможно только в равнобедренном треугольнике. Значит, треугольник АДМ - равнобедренный. А в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.  Т.е. угол АДМ = углу МАД. Но угол МАД = углу ВАД. Значит, угол АДМ = углу ВАД. Но это углы внутренние накрест лежащие при прямых АВ и МД и секущей АД. Эти углы равны. А мы знаем, что если при пересечении двух прямых третьей окажется, что какие-нибудь накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Значит, АВ и МД параллельны!