Вопрос по геометрии:
Докажите,что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая медиана.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!
- 06.11.2017 17:42
- Геометрия
- remove_red_eye 8092
- thumb_up 30
Ответы и объяснения 1
Первый способ. Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB. Обозначим OM = x, OK = y. Тогда OC = 2x, OB = 2y.
По теореме косинусов из треугольников MOB и KOC находим, что
BM2 = x2 + 4y2 − 4xy cos ∠MOB, CK2 = 4x2 + y2 − 4xy cos ∠KOC.
Поскольку BM = 1 2 AB, KC = 1 2 AC, то
BM2 < KC2, или x2 + 4y2 < 4x2 + y2 (∠MOB = ∠KOC).
Отсюда следует, что x > y. Поэтому CM = 3x > 3y = BK.
Второй способ. Пусть BK и CM — медианы треугольника ABC, O — их точка пересечения и AC > AB.
Проведём медиану AN. В треугольниках ANB и ANC сторона AN — общая, BN = CN, а AB < AC, поэтому ∠ANB < ∠ANC (см. задачу 3606).
В треугольниках ONB и ONC сторона ON — общая, BN = CN, а ∠ONB < ∠ONC, поэтому OB < OC. Следовательно,
BK = 3 2 OB < 3 2 OC = CM.
- 07.11.2017 07:21
- thumb_up 36
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.