В четырехугольнике MNPQ  стороны MN и  PQ параллельны. ∠ М  ∠Р. 
Проведем прямую NQ.
Она - секущая при параллельных MN и PQ.
Из свойств углов при параллельных прямых и секущей
накрестлежащие углы MNQ и  PQN равны. 
В треугольниках MNQ  и  NPQ имеем по два равных угла.
Следовательно,  третий угол в них тоже равен. Сторона NQ в них общая.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
 Треугольники равны - и все соответственные стороны в них равны. 
 Если противоположные стороны четырёхугольника попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.