Вопрос по геометрии:
Две окружности касаются друг друга внешним образом в точке M. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках A и B, причем MA =8 ; MB = 6. Определите радиусы окружностей.
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!
- 04.09.2016 12:29
- Геометрия
- remove_red_eye 8485
- thumb_up 11
Ответы и объяснения 1
А вот вам такое решение (уж и не знаю, как вы к нему отнесетесь :))
Дополнительно я обозначу центры окружностей О1 и О2, и точку пересечения общей касательной в точке М с АВ, как Р.
Легко увидеть, что угол АМВ прямой (доказать это есть много способов, например так - O1A II O2B, поэтому сумма углов AO1M и BO2M равна 180°, а угол МАВ равен половине угла AO1M, угол MBA - половине угла MO2B, то есть их сумма 90°). Кроме того, Р - середина АВ (все касательные из точки Р равны между собой :) ). То есть МР - медиана прямоугольного треугольника АМВ. Поскольку это "египетский" (то есть подобный треугольнику 3,4,5) треугольник с катетами 6 и 8,то АВ = 10, и МР = АВ/2 = 5.
По той же самой причине (сумма углов AO1M и BO2M равна 180°) треугольник О1РО2 тоже прямоугольный, так как точка Р лежит на биссектрисах этих углов. Более того, поскольку, например, угол РО1М равен половине угла АО1М, то есть равен углу МАВ, то треугольники МАВ и О1РО2 подобны. То есть О1РО2 - тоже "египетский" треугольник, подобный (3,4,5). При этом медиана треугольника МАВ, то есть МР = 5;является высотой к гипотенузе треугольника О1РО2, так как касательная МР перпендикулярна линии центров О1О2. А радиусы О1М и О2М - это отрезки, на которые высота РМ делит гипотенузу О1О2.
Итак, требуется найти такой ""египетский"" треугольник, у которого высота к гипотенузе равна 5. У обычного ""египетского"" треугольника высота равна 3*4/5 = 2,
- 04.09.2016 23:25
- thumb_up 29
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.