Маємо S=(1/2)*a*b*sinq

 де q-кут трикутника, протилежний стороні с. За теоремою косинусів

с^2=a^2+b^2-2ab*cosq

Тоді

 cosq= (a^2+b^2-  с^2) /2ab

Так як

 sin^2(q)=1- cos^2(q)=(1- cosq )(1+ cosq )=((2ab - a^2-b^2+  с^2)/2ab)(  (2ab + a^2-b^2+  с^2)/2ab)=(1/(4a^2b^2))* (c-a+b)*(c+a-b)*(a+b-c)*(a+b+c)/

Але a+b+c=2p

      a+b-c=2p-2c

    a+c-b=2p-2b

    c-a+b=2p-2a, 

дістанемо:

sinq=(2/ab)*sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} 

Таким чином

S=0,5 *a*b*sinq =sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}