Пусть у треугольника ABC прямой угол А. Значит нам известно отношение сторон AB/BC = 12/13 и AC = 10 см.

Отношение катета и гипотенузы - это синус или косинус какого-либо угла, а именно

sin(C) = 12/13 => C = arcsin(12/13).

cos(B) = 12/13 => B = arccos(12/13).

Формально углы найдены, точное значение предлагаю вычислить самостоятельно, так как я не знаю, в каком виде преподаватель хочет их видеть. К сожалению, из значение является бесконечной десятичной дробью.

Найдем сторону BC.

cos(C) = BC/AC,

BC = cos(C)*AC = 10 * cos(arcsin(12/13)),

Найдем AB.

sin(B) = AC/AB,

AB = AC/sin(B) = 10/sin(arccos(12/13)).

Известно, что arcsin(x) = arccos(sqrt(1-x^2)) при 0 ≤ x ≤ 1 и arccos(x) = arcsin(sqrt(1-x^2)) при аналогичных условиях. Таким образом,

arcsin(12/13) = arccos(sqrt(1-144/169)) = arccos(5/13),

arccos(12/13) = arcsin(sqrt(1-144/169)) = arcsin(5/13).

Отсюда

BC = 10*cos(arccos(5/13)) = 50/13,

AB =10/sin(arcsin(5/13)) = 10/5/13 = 130/5 = 26.