Вопрос по геометрии:
Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник.Найти углы треугольника
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок - бесплатно!
- 01.08.2017 04:45
- Геометрия
- remove_red_eye 5154
- thumb_up 36
Ответы и объяснения 1
Задача показалась мне интересной, и я её немного обобщил. Пусть вписанная окружность делит медиану, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе, в отношении к:(1 - к). В условии задачи к = 2/3.
Обозначим a и b - катеты, с - гипотенуза, r - радиус вписанной окружности.
Проще всего составить необходимые уравнения, воспользовавшись уравнением окружности. Далее я покажу, как эти соотношения элементарно получаются и без координатных методов.
Расположим катеты вдоль координатных осей так, что вершина прямого угла - вначале координат (0,0), а вершины гипотенузы - в точках (а,0) и (0,b). Тогда точка пересечения К медианы и вписанной окружности (их 2, нас интересует, очевидно, та, что ближе к гипотенузе) лежит на прямой y = (b/a)*x; основание медианы - это середина гипотенузы, то есть точка с координатами (a/2,b/2), а координаты точки К (k*a/2; k*b/2) (в условии задачи это (a/3,b/3))
Уравнение вписанной окружности
(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2;
кроме того, есть известное соотношение в прямоугольном треугольнике
a + b - c = 2*r;
Подставим (x,y) = (k*a/2; k*b/2) в уравнение окружности.
(k*a/2 - r)^2 + (k*b/2 - r)^2 = r^2;
(на самом деле это соотношение для точки К можно выписать сразу, исходя из теоремы Пифагора, а все предыдущие "методические" приемы просто опустить :) достаточно построить прямоугольный треугольник, проведя радиус из центра вписанной окружности О в точку К, и прямые II катетам исходного тр-ка из концов этого радиуса (то есть из точек О и К) до пересечения. Полученные катеты этого треугольника очевидно равны (k*a/2 - r) и (k*b/2 - r), - в условии задачи (a/3 - r) и (b/3 - r), а гипотенуза - r)
Имеем далее
k^2*(a^2 + b^2)/4 - k*(a + b)*r +r^2 = 0;/p>
Подставим a + b = 2*r +
- 01.08.2017 23:59
- thumb_up 22
Знаете ответ? Поделитесь им!
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи - смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.