Vк = 1/3 * Пr^2H

Vш = 4/3 * Пr^3

Vк/Vш = r^2H/4R^3

R^2 = (H-R)^2 + r^2

sina = r/R

r= Rsina

tga = H/r

Vк/Vш = r^2H/4R^3 = (R^2sin^2a * H)/(4R^3) = (sin^2 a * H)/(4R) = sin^2 a * tga * r)/(4R) = (sin^3 a * tga)/4

Всю эту задачу можно представить себе так. У нас есть равнобедренный треугольник с углом при вершине (2*альфа) (а при основании (90 - альфа)), и окружность описанная вокруг него. Потом все это "хозяйство" вращается вокруг оси симметрии треугольника (то есть вокруг медианы-биссектрисы-высоты к основанию. Получается конус, вписанный в шар. Надо найти отношение их объемов. 

Задача решается так - выбирается за единицу длины какой-то размер, например, радиус R описанной вокруг треугольника окружности (он же - радиус шара). Надо выразить через него половину основания треугольника (это радиус основания конуса) и высоту h (это высота конуса). 

Легче всего находится основание - из теоремы синусов

2*R*sin(2*альфа) = a. Поэтому радиус основания конуса r = a/2 = R*sin(2*альфа);/p>

Легко видеть, что h/r = tg(90 - альфа) = ctg(альфа