Центр окружности,вписанной в треугольник,является точкой пересечения его биссектрис.
Окружность называется вписанной в треугольник,если она касается всех его сторон.-это понятие вписанной.

Вписанный угол - уго, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

ТЕОРЕМА: вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается

Докозательство:

пусть уг.ABC - вписанный угол окружности с центром O, опирающийся на дугу AC. Докажем, что ABC=1/2 дуги AC. Есть 2 возможных варианта расположения луча BO относительно уг.ABC

1) луч OB совпадает с одной  из сторон угла ABC, например со стороной BC. В этом случае дугаAC меньше полуокружности, поэтому уг.AOC=дуге AC. Так как угол AOC - внешний угол равнобедренного треугольника ABO, ф углы 1 и 2 при основании равнобедренного треугольника равны, то уг.AOC=уг.1+уг.2=2 уг.1

Отсюда следует, что 2 уг.1=дуг.AC или уг.ABC=уг1=1/2 дуги AC

2) луч BO делит угол ABC на два угла. В этом случае луч BO пересекает дугу AC в некоторой точке D. Точка D разделяет дугу AC на две дуги: дуга AD и дуга DC. По доказонному в номере один,  уг ABD=1/2 дуги AD и угDBC=1/2 дуги AD+1/2 дугиDC. Складывая эти равенства попарно, получаем: угABD+DBC=1/2 дугAD+1/2 дугDC, или угABC=1/2 дугиAC