Для начала найдем скорость тела перед первым ударом используя закон сохранения энергии и приравняв потенциальную энергию тела на высоте h и кенетическую энергию тела перед ударом.
mgh=mv₀²/2
v₀²=2gh
v₀=√(2gh)
Поселе первого удара скорость стала v₁=v₀/2. Найдем высоту h₁, на которую поднимется тело после первого удара.
mgh₁=mv₁²/2
h₁=v₁²/2g
Значит путь между первым и вторым ударом 2h₁=v₁²/g=(v₀/2)²/g=v₀²/4g
Аналогично поселе второго удара скорость стала v₂=v₁/2. Найдем путь 2h₂, который пройдет тело между вторым и третьим ударами.
2h₂=v₂²/g=v₁²/4g=v₀²/4²g
Продолжая дальше мы получим
2h₃=v₀²/4³g
Получаемчто полный путь, пройденнй телом
S= h+2h₁+2h₂+2h₃+...=h+v₀²/4g+v₀²/4²g+v₀²/4³g+...=h+(v₀²/g)(1/4+1/4²+1/4³+...)
v₀²/g=2h
1/4 , 1/4², 1/4³... убывающая геометрическая прогрессия в которой b₁=1/4 и q=1/4, ее сумма
1/4+1/4²+1/4³+...=(1/4)/(1-1/4)=(1/4)/(3/4)=1/3
S=h+2h/3=5h/3