Решение:
Один из способов решения может быть таким:
Функция квадратичная, графиком является парабола. Парабола не пересекает ось абсцисс, если функция не имеет нулей, т.е. если нет корней в уравнении 4х^2 + bх + 1 = 0.
D= b^2 -4ac = b^2 - 4•4•1= b^2 - 16.
Уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицательный, т.е.
b^2 -16 < 0
(b -4)•(b + 4) <0
b принадлежит промежутку от - 4 до 4.
Ответ: при b , принадлежащих промежутку ( - 4; 4), график функции ось абсцисс не пересекает.
К сожалению, нет возможности красиво оформить решение, нет доступа к цивилизации))), поэтому такие наброски, извините.