A + b = 50
Составим функцию y = a * b, максимум которой надо найти.
Выразим из суммы b  через a и подставим в функцию:

b = 50 - a

y = a * (50 - a) = 50*a - a²

Теперь стоит задача на нахождение экстремума (в нашем случае максимума). Для этого надо взять производную, приравнять её нулю, решить полученное уравнение. Выяснить, минимум это или максимум.

Находим производную по а (переменная, вместо икса):
y' = 50 - 2a = 0, откуда a = 25
Выясним, минимум это или максимум. Для этого подставим в уравнение производной сначала значение чуть меньше 25, а затем чуть больше.

y' (24) = 50 - 2*24 =2 > 0
y' (26) = 50 - 2*26 = -2 <0
Итак, производная меняет знак с плюса на минус, значит, мы нашли максимум, т.е. то что надо.

Найдём b = 50 - a = 50 -25 = 25

При a = 25 и b = 25 произведение a * b = 625 максимально.

task/25824577
--------------------
Сумма положительных чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b и произведение будет наибольшим?
-----------------
a+b =50 ; a > 0 ; b >0  . 
---
a -? ,b -? → max(a*b) 

b = 50 - a
Первый способ
a > 0 ; b >0  ⇒ √a*b ≤(a+b)/2  
* * * неравенство Коши для 2-х неотрицательных чисел * * *
равенство имеет место при  a=b ;  т.е. если a=b=50/2  = 25.
----------------
Второй способ
ab=a(50-a)= -a²+50a = -(a² -2*a*25 +25² -25²) = 625 - (a -25)² .
очевидно , если a =25 , то произведение ab  принимает свое максимальное значение (=625)  и  b =50-a=50 -25 =25 .
----------------
Третий способ (универсальный применением производной )