1) Представим периметр в таком виде:
, где x — первая сторона, 10-x — вторая сторона.

2) Найдём диагональ d по теореме Пифагора:


3) Составим функцию длины этой диагонали и через производную найдём её экстремум:
 


Дискриминант подкоренного многочлена больше нуля — значит там корней нет. Следовательно, функция обнуляется только в одной точке: x=5.

4) Методом интервалов доказываем, что f(5) — точка минимума (а не максимума, если вдруг).

5) Найдём вторую сторону: . Следовательно, наименьшую диагональ имеет квадрат :) Длина этой диагонали равна

Ответ: 5 см и 5 см (квадрат).