Парабола    имеет ветви, направленные вниз, т.к. коэффициент перед х²  отрицателен. Вершина в точке (1,4), точки пересечения с осью ОХ: (-1,0) и (3,0). Прямая у=0   -это ось ОХ.  Имеем область между линией параболы и осью ОХ.

Найдем границы интегрирования
-x²+2x+3=0
x²-2x-3=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=-1 U x2=3
Так как ветви параболы у=-х²+2х+3 направлены вниз,то фигура ограничена сверху графиком параболы,а снизу осью ох
Площадь равна интегралу от -1 до 3 функции у=-х²+2х+3.Найдем производную и подставим пределы интегрирования
S=-x³/3+x²+3x|3-(-1)=-27/3+9+9-1/3-1+3=111-1/3=10 2/3