Cos3x = (a*a+2a-2)/2
Косинус принимает свои значения на отрезке [-1;1], значит

Запишем в систему
  
Решаем отдельно
-1≤(a²+2a-2)/2
-2≤a²+2a-2
a²+2a≥0
a(a+2)≥0
a1 = 0
a2 = -2
___+__[-2]___-__[0]____+__
Ответ этого неравенства x ∈ (-∞;-2] U [0;+∞)

(a²+2a-2)/2≤1
a²+2a-2≤2
a²+2a-4≤0
D=b²-4ac=4+16=20
a1 = -1-√5
a2 = -1+√5
__+_[-1-√5]___-__[-1+√5]___+__
Ответ этого неравенства [-1-√5 ; -1+√5]

Объедененное решение: a ∈ [-1-√5 ; -2] U [0 ; -1+√5]

Ответ: при a ∈ [-1-√5 ; -2] U [0 ; -1+√5] уравнение имеет решение