Ответ : 11...11. (300 цифр).

[подчёркнутое число обозначает, что в его записи 100 цифр]
    Запишем число 333...333 в виде произведения:
333....333 = 3* 111....111
Множители взаимно простые, значит искомое число Х должно делиться на оба числа: 3 и 111...111
1) Чтоб число Х делилось на 3, количество единичек в нём должно быть кратно 3.
2) Чтоб число Х делилось на 111...111, число Х должно содержать целое число групп по сто единичек: одну, две, три четыре и так далее.
    Наименьшее из чисел, которое удовлетворяет этим двум условиям - это 111111...111111 (300 единичек)