Обозначим a = arcsin(12/13), b = arccos(4/5).
Тогда sin a = 12/13, cos b = 4/5; cos a и sin b можно найти по основному тригонометрическому тождеству (перед корнями выбран знак +, так как 0 < a, b < π/2).
cos a = √(1 - sin^2 a) = √(1 - 144/169) = √(25/169) = 5/13
sin b = √(1 - cos^2 b) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5

Формула косинуса суммы: cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b

cos(a + b) = 5/13 * 4/5 - 12/13 * 3/5 = 20/65 - 36/65 = -16/65