Розставити розділові знаки слід так:

     Ольгу Косач знають як відому письменницю Олену Пчілку. Значною постаттю у світовій літературі стала її донька – Леся Українка; син Михайло взяв псевдонім «Обачний». Ці псевдоніми придумала Олена Пчілка. Сама вона впродовж життя підписувалася тільки псевдонімом.

      Пояснення:

      Ольгу Косач знають як відому письменницю Олену Пчілку. Значною постаттю у світовій літературі стала її донька – Леся Українка (тире між підметом і присудком); (ставимо крапку з комою, бо вона має стояти між частинами складного речення, поєднаними безсполучниковим зв’язком, якщо ці речення вказують на відносно самостійні події) син Михайло взяв псевдонім «Обачний». Ці псевдоніми придумала Олена Пчілка. Сама вона впродовж життя підписувалася тільки псевдонімом.