Ніл Армстронг народився в місті Вапаконета, штат Огайо, в сім'ї Стівена Армстронга (англ. Stephen Koenig Armstrong) та Віоли Енгел (англ. Viola Louise Engel). Таким чином, Ніл був шотландсько — німецького походження. Його батько працював фінансовим аудитором, а мати викладачем літератури в школі. Ніл був первістком у сімї і мав двох молодших сестер Джун (англ. June) та Дін (англ. Dean). Батько, Стівен Армстронг, працював на уряд штату, і після народження Ніла, сім'я часто переїжджала із міста в місто: вони встигли пожити в 20-и різних містах до того, як остаточно осіли у Вапаконеті, де Ніл зміг поступити у середню школу. До того часу Ніл вже був активним учасником руху бойскаутів Америки (Boy Scouts of America), де він в кінцевому рахунку досягне найвищого рангу «Eagle Scout». Будучи дорослим, він також отримає від них нагороди «Distinguished Eagle Scout Award» і «Silver Buffalo Award».

Ніл з дитинства захоплювався літаками. В шість років Ніл, вперше злетів на літаку: його батько замість недільної служби, взяв сина в кабіну літака, який за плату піднімав у повітря всіх охочих. Цим першим літаком був Ford Trimotor або «Бляшаний Гусак» — маленький пасажирський літак. З десятирічного віку Ніл підробляв (зістригав газони на місцевому цвинтарі), аби за отримані кошти купувати авіаційні журнали та моделі, яких в нього була повна кімната. Він, навіть, самостійно збудував модель турбіни літака. В старших класах Ніл почав проходити підготовку в міській авіашколі WFS. Він виявився здібним учнем і вже в п'ятнадцять років зміг отримати сертифікат пілота, навіть, перед тим, як зміг отримати водійські права. Копія одномоторного літака моделі Aeronca 7AC Champion, на якому він вперше самостійно піднявся в небо, зараз стоїть в Аерокосмічному музеї імені Ніла Армстронга, що був відкритий в 1972 році в Вапаконеті.