Um zu:

Ich mache Grammatikübungen, um Deutsch zu lernen.
Ich lerne Deutsch, um mich mit den Nachbarn zu unterhalten.
Wir laufen, um den Zug nicht zu verpassen.
Mein Opa hat eine Lupe, um die Zeitungen lesen zu können.
Wir bleiben zu Hause, um etwas kochen zu können.

Damit:

Ich kaufe meinem Sohn einen Pullover, damit er nicht friert.
Ich lerne Deutsch, damit ich mich mit den Nachbarn unterhalten kann.
Wir machen das Licht an, damit die Kinder keine Angst haben.
Er spricht Englisch, damit ihn die Touristen verstehen.
Familie Wagner fährt nach Italien, damit ihre Kinder Spaß haben.