Ответ:

Для того чтобы прямая  имела с параболой ровно одну общую точку, они должны касаться.

Это условие выполняется, когда дискриминант уравнения  равен нулю.

1. Приравняем функции, перенесем влево и уножим на 2 для удобства: 

0.5х^2+p=-x

0.5х^2+p+x=0

x^2+2x+2p=0

2. Решим квадратное уравнение: 

Дискриминант D=b^2-4ac=2^2-4*1*2p=4-8p

Для одной точки D=0: D=4-8p

0=4-8p

8p=4

p=0.5

 

3. Уравнение функции  у=0.5х^2+0.5 (см.рис. в приложении)

• Это парабола, ветви которой направлены вверх, вершина находится в точке (0; 0.5)

• Прямая y=-x касается параболы в точке 
   касается параболы в точке (-1; 0.5)
  . 

График: y ^ | / (прямая y=-x) | / | / |/ . (точка касания -1, 0.5) +-------|-------> x