Ответ:

y=-x4+2·x2+3
Необходимое условие экстремума функции одной переменной.
Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной.
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f'0(x*) = 0
f''0(x*) < 0
то точка x* - локальный (глобальный) максимум.
Решение.
Находим первую производную функции:
y' = -4·x3+4·x
или
y' = 4·x·(-x2+1)
Приравниваем ее к нулю:
-4·x3+4·x = 0
x1 = 0
x2 = -1
x3 = 1
Вычисляем значения функции
f(0) = 3
f(-1) = 4
f(1) = 4
Ответ:
fmin = 3, fmax = 4
Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную:
y'' = -12·x2+4
Вычисляем:
y''(0) = 4>0 - значит точка x = 0 точка минимума функции.
y''(-1) = -8<0 - значит точка x = -1 точка максимума функции.
y''(1) = -8<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции.