Y=x²+6x+11 

область определения  х∈(-∞,∞)

область значения. Найдем вершину параболы х0=-b/2a=-6/2=-3
y0=9-18+11=2    y∈(2;∞)

нули ф-ии   x²+6x+11=0   D=36-4*11<0    корней нет.

промежутки возрастания и убывания
y'=2x+6   2x+6=0       x=-3
---------------  -3 ---------------   убывает х∈(-∞,-3)   возрастает х∈(3; ∞)
           -                +

промежутки знакопостоянства  y>0  x∈(-∞;∞)

график приложен.