Y =3x при а=0 взял для примера чтобы было наглядно куда двигать график прямой чтобы была одна точка пересечения

 Раскрываем знак модуля по определению:
 если х≥0, то | x |=x,
 если х<0, то | x |= -x

График уравнения | x | + | y | =4 - квадрат, ограниченный прямыми:
в первой четверти:    х≥0, у≥0 - прямой х+у=4,
во второй четверти:  х≤0, у≥0 - прямой -х+у=4
в третьей четверти:  х≤0, у≤0 - прямой -х-у=4
в четвертой четверти: х≥0,у≤ -  прямой х-у=4

Прямая у=3х+а имеет с данной фигурой одну общую точку.
Это могут быть точки (4;0) или (-4;0) ( см. рисунок)
Подставим координаты точки (4;0) в уравнение прямой  у=3х+а, получим:
0=3·4+а. а=-12.
у=3х-12
Подставим координаты точки (-4;0) в уравнение прямой  у=3х+а, получим:
0=3·(-4)+а. а=12.
у=3х+12
Ответ. а=-12 ; а=12