Попробуем записать это сложение "в столбик"
  24005
+  2003
----------
  26010

Очень приятно, что сложение младших разрядов дает нам 10. Т.е. понятно, конечно, что 5+3 не могут в сумме дать 0 ни в одной "нормальной" системе счисления, следовательно 0 - это последний разряд суммы 10, а единичка пошла переносом в следующий разряд.
Но если считать в десятичной системе, 5+3=8. Но не 10. 10-8=2, т.е. сумма получилась на 2 больше. Следовательно, основание системы счисления на 2 меньше, т.е. равно 10-2, т.е. 8.
Итак, мы сделали (обоснованно!) предположение, что основание системы счисления равно 8. Посмотрим, все ли цифры можно записать в восьмеричной системе, где допускаются только цифры от 0 до 7? Все.
Ну и отлично, задача решена. Остальные разряды суммы в восьмеричной и десятичной системе выглядят одинаково, так что и тут противоречий нет.

Ответ: 8