Сначала немного математики.

О модуле тут смысла нет говорить, поскольку все an - суть положительные величины на интервале (0;1).

uses Crt;

function ai(n:integer):real;
var
  i:integer;
  p:real;
begin
  p:=1;
  for i:=n+1 to 2*n do p:=p*i;
  ai:=1/p
end;

var
  i:integer;
  eps,s,an:real;
begin
  ClrScr;
  Write('eps='); Read(eps);
  s:=0; i:=1;
  repeat
    an:=ai(i);
    if an>=eps then begin s:=s+an; Inc(i) end
  until an  Writeln('s=',s);
  ReadKey
end.

Тестовые решения:
eps=0.07
s= 5.8333333333E-01

eps=0.000001
s= 5.9229647667E-01

eps=1e-8
s= 5.9229653448E-01

Для контроля результата можно отметить, что сумма первых 1000 членов ряда равна приблизительно 5.922965365Е-01