Обозначим количество использований часов на 3 минуты через а, количество использований часов на 8 минут через b.
Задача сводится к решению в целых неотрицательных числах уравнения 3a+8b=67    (1)
Запишем его решение относительно а:

Из условия неотрицательности a следует, что 67-8b ≥ 0 или b ∈ [0;8]
Тогда уравнение (1) будет иметь три решения:
a=1, b=8 - 9 манипуляций
a=9, b=5 - 14 манипуляций
a=17, b=2 - 19 манипуляций
Оптимальным будет использовать вариант с 9 манипуляциями: 8 раз использовать часы на 8 минут и один раз - на 3 минуты.